Cho tứ diện đều $ ABCD $ có cạnh bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=3MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } +MD ^ { 2 } $ trong đó $ M $ là một điểm bất kì trong không gian.

Gọi $ I $ là điểm thoả mãn hệ thức $ 3\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }+\overset\rightarrow { ID }=0 $ (1) $ ⇒I $ cố định (do $ A,B,C,D $ cố định). Ta có $ P=3MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } +MD ^ { 2 } =3\overset\rightarrow { MA } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { MB } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { MC } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { MD } ^ { 2 } $ Do đó $ P $ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ M≡I $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ BCD $, ta có $ \overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }+\overset\rightarrow { ID }=3\overset\rightarrow { IG } $. Kết hợp với (1) $ ⇒\overset\rightarrow { IA }=\overset\rightarrow { GI } $ Suy ra $ I $ là trung điểm $ GA $. Khi đó $ IA ^ { 2 } =\frac { 25 } { 6 },IB ^ { 2 } =IC ^ { 2 } =ID ^ { 2 } =\frac { 25 } { 2 }⇒P=50 $.