Cho hình chóp đều $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh 2, cạnh bên $ SA=3\sqrt[] { 3 } $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=MS ^ { 2 } +MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } +MD ^ { 2 } $ trong đó $ M $ là một điểm bất kì trong không gian.

Ta có: $ AC=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 2 }⇒OA=\sqrt[] { 2 } $ Do đó $ SO=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -OA ^ { 2 } }=5 $ Gọi $ I $ là điểm thoả mãn $ \overset\rightarrow { IS }+\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }+\overset\rightarrow { ID }=0⇔\overset\rightarrow { IS }+4\overset\rightarrow { IO }=0 $ (với $ O $ là tâm hình vuông $ ABCD $) Khi đó: $ P=(\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IS }) ^ { 2 } +(\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA }) ^ { 2 } +..=5MI ^ { 2 } +IS ^ { 2 } +4IA ^ { 2 } \geq IS ^ { 2 } +4IA ^ { 2 } $ khi $ M≡I $ Suy ra $ P_{ \min } =IS ^ { 2 } +4IA ^ { 2 } =4 ^ { 2 } +4\left ( { OA ^ { 2 } +IO ^ { 2 } } \right )=16+4(2+1)=28 $.