Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t) = 1000(t^{2} + me^{-t})$ với $t \geq 0$ là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, $m$ là tham số. Khi đó đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tính tổng các giá trị nguyên âm của $m$ biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm.

Lời giải Ta có: $$ f'(t) = 1000(2t - me^{-t}), \quad f''(t) = 1000(2 + me^{-t}) $$ Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu ($t \in [0; 10]$) khi và chỉ khi hàm số $f'(t)$ đồng biến trên $[0; 10]$, hay $f''(t) \geq 0, \forall t \in [0; 10]$. $$ 2 + me^{-t} \geq 0 \Leftrightarrow m \geq -2e^{t}, \forall t \in [0; 10] $$ Xét hàm số $g(t) = -2e^{t}$ trên $[0; 10]$. Vì $g(t)$ là hàm nghịch biến nên giá trị lớn nhất của $g(t)$ là $g(0) = -2$. Do đó, để bất đẳng thức đúng với mọi $t \in [0; 10]$ thì: $$ m \geq \max_{[0;10]} (-2e^{t}) = -2 $$ Vì $m$ là số nguyên âm, nên $m \in \{-1; -2\}$. Tổng các giá trị nguyên âm của $m$ là $-1 + (-2) = -3$.