Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu $ EF $ bắc qua sông. Biết rằng thành phố $ A $ cách con sông một khoảng là $ 4km $ và thành phố $ B $ cách con sông một khoảng là $ 6km $(hình vẽ), biết $ HE+KF=20km $ và độ dài $ EF $ không đổi. Hỏi xây cây cầu tại vị trí $ E $cách thành phố $ A $ là bao nhiêu $ km $ để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường $ AEFB $)? (kết quả làm tròn đến phần trăm).

Đặt $ HE=x , FK=y $, với $ x,\,y>0 $ Ta có: $ HE+KF=20⇒x+y=20 $, $ \left \{ \begin{array}{l} AE=\sqrt[] { 16+x ^ { 2 } } \\ BF=\sqrt[] { 36+y ^ { 2 } }=\sqrt[] { 36+\left ( { 20-x } \right ) ^ { 2 } } \end{array} \right. $ Nhận xét: Vì $ EF $ không đổi nên $ AB $ ngắn nhất khi $ AE+BF $ nhỏ nhất. Ta có $ AE+BF =\sqrt[] { x ^ { 2 } +16 }+\sqrt[] { (20-x) ^ { 2 } +36 }=\sqrt[] { x ^ { 2 } +16 }+\sqrt[] { x ^ { 2 } -40x+436 }=f(x) $ $ f'(x)=\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +16 } }+\frac { x-20 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -40x+436 } },\,∀x\in \left ( { 0;20 } \right ) $. Cho $ f'(x)=0⇒x=8 $ Bảng biến thiên Vậy $ AE=\sqrt[] { 8 ^ { 2 } +16 }≈8,94km $.