Một người nông dân đang đứng ở góc $ A $ của một cánh đồng hình chữ nhật $ ABCD $ có chiều rộng $ AD=2 $ km và chiều dài $ AB=6 $ km. Người đó muốn đi đến góc đối diện $ C $. Người nông dân có thể đi bộ trên cánh đồng cỏ với tốc độ $ 4 $ km/h và đi bộ trên đường dọc theo cạnh $ CD $ với tốc độ $ 8 $ km/h. Để đến $ C $ nhanh nhất, người đó nên đi theo đường thẳng từ $ A $ đến một điểm $ E $ nào đó trên cạnh $ CD $, sau đó đi bộ dọc theo đường từ $ E $ đến $ C $. Hỏi điểm $ E $ phải cách điểm $ D $ bao xa để tổng thời gian di chuyển là ít nhất?(kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi $ E $ là điểm trên cạnh $ CD $ mà người nông dân đi tới từ $ A $. Gọi $ x $ là khoảng cách $ DE $($ 0\leq x\leq 6 $). Khoảng cách đi bộ trên đường là $ EC=DC-DE=6-x $. Ta có $ AE ^ { 2 } =AD ^ { 2 } +DE ^ { 2 } =2 ^ { 2 } +x ^ { 2 } =4+x ^ { 2 } $ Suy ra $ AE=\sqrt[] { 4+x ^ { 2 } } $ (km) Lại có $ EC=6-x $ (km) Thời gian người nông dân đi từ $ A $ tới $ E $ là $ t_{ AE } =\frac { \sqrt[] { 4+x ^ { 2 } } } { 4 } $ (giờ) Thời gian người nông dân đi từ $ E $ tới $ C $ là $ t_{ EC } =\frac { 6-x } { 8 } $ (giờ) Tổng thời gian người nông dân đi từ $ A $ đến $ C $ là tổng của hai khoảng thời gian trên: $ T(x)=\frac { \sqrt[] { 4+x ^ { 2 } } } { 4 }+\frac { 6-x } { 8 } $ Ta có $ T'(x)=\frac { x } { 4\sqrt[] { 4+x ^ { 2 } } }-\frac { 1 } { 8 } $. $ T'(x)=0⇔\frac { x } { 4\sqrt[] { 4+x ^ { 2 } } }-\frac { 1 } { 8 }=0⇔x=±\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Vì $ 0\leq x\leq 6 $ nên suy ra $ x=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Bảng biến thiên Vậy để tổng thời gian di chuyển ít nhất thì điểm $ E $ phải cách điểm $ D $ một khoảng là $ \frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ km$ \simeq 1.16 $ km.