Một hộ gia đình chuyên làm thịt trâu sấy khô để bán, mỗi ngày hộ đó sản xuất được $ x $ kg thịt, $ (1\leq x\leq 20) $. Tổng chi phí sản xuất $ x $ kg thịt trâu khô, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $ C(x)=x ^ { 3 } -9x ^ { 2 } +345x+450 $. Giả sử hộ gia đình này bán hết số thịt làm ra mỗi ngày với giá $ 750 $ nghìn đồng/kg. Gọi $ L(x) $ là lợi nhuận thu được khi bán $ x $ kg thịt trâu sấy khô. Hỏi lợi nhuận tối đa mà hộ gia đình này thu được trong một ngày?

Số tiền thu về khi bán $ x $ kg thịt là: $ 750x $. Lợi nhuận thu được khi bán $ x $kg thịt là:$ L(x)=750x-\left ( { x ^ { 3 } -9x ^ { 2 } +345x+450 } \right )=-x ^ { 3 } +9x ^ { 2 } +405x-450 $ Xét hàm số $ L(x)=-x ^ { 3 } +9x ^ { 2 } +405x-450 $ với $ x\in [1;20] $ $ L'(x)=-3x ^ { 2 } +18x+405 $; $ L'(x)=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=15\in [1;20] \\ x=-9∉[1;20] \end{array} \right. $ Bảng biến thiên Vậy hộ gia đình sản xuất thịt khô này thu được lợi nhuận tối đa trong một ngày là $ 4275 $ nghìn đồng khi sản xuất $ 15 $ kg thịt trâu khô trong một ngày.