Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết $ a=24 $ và $ b=3 $, Biết chiều dài tối thiểu của que sào thỏa mãn điều kiện trên là $ l $. Tính giá trị của $ l ^ { 2 } $.

Đặt các điểm như hình vẽ. Đặt $ DF=x $, $ x>0 $, ta có $ ΔADF $ đồng dạng với $ ΔBED $ nên $ \frac { EB } { ED }=\frac { AF } { DF } ⇒EB=\frac { ab } { x } $. Gọi $ l $ là chiều dài của que sào, ta có $ l ^ { 2 } =AB ^ { 2 } =\left ( { x+b } \right ) ^ { 2 } +\left ( { a+\frac { ab } { x } } \right ) ^ { 2 } =f\left ( { x } \right ) $. $ f'\left ( { x } \right )=2\left ( { x+b } \right )-2\frac { ab } { x ^ { 2 } }\left ( { a+\frac { ab } { x } } \right )=2\left ( { x+b } \right )\left ( { 1-\frac { a ^ { 2 } b } { x ^ { 3 } } } \right ) $; $ f'\left ( { x } \right )=0⇔x=\sqrt[3] { a ^ { 2 } b }=12 $. Xét bảng sau: Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là $ l=\sqrt[] { 1125 } $. Giá trị $ l ^ { 2 } =1125 $.