Trên mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $25 \text{ m}^{2}$, người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là $A$ và $H$, với $H$ thuộc cạnh $BD$. Hỏi số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ (miền tô đậm) là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng) với chi phí trồng cỏ là $70.000$ đồng/$\text{m}^{2}$?

Lời giải Ta có $AB \cdot AD = 25$ ($m^{2}$). Gọi hình chữ nhật trồng cỏ là $ANHM$ (với $N$ trên $AB$, $H$ trên $BD$, $M$ trên $AD$). Ta có tỉ lệ: $$ \frac{NH}{AB} = \frac{DN}{DA} = x \Rightarrow NH = x \cdot AB, \quad AN = (1-x)AD $$ Diện tích đất trồng cỏ là: $$ S = AN \cdot NH = x(1-x) \cdot AB \cdot AD = 25x(1-x) $$ Theo bất đẳng thức AM-GM: $$ x(1-x) \leq \frac{(x + 1-x)^{2}}{4} = \frac{1}{4} $$ Diện tích đất trồng cỏ lớn nhất: $$ S_{\max} = \frac{1}{4} \cdot 25 = 6,25 \text{ m}^{2} $$ Số tiền lớn nhất để trồng cỏ: $$ T = 6,25 \cdot 70.000 = 437.500 \text{ (đồng)} \approx 438 \text{ (nghìn đồng)}. $$