Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $P(t) = \frac{a}{b + e^{-0,75t}}$ (với $a, b \in \mathbb{R}$), trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y = P(t)$ biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời điểm $t$ (giờ). Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng là 10 tế bào/giờ. Tìm số lượng tế bào của quần thể nấm men tại thời điểm tốc độ sinh trưởng của quần thể đạt mức tối đa.

Lời giải Theo đề bài ta có tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng là 10 tế bào/giờ: $$ \begin{cases} P(0) = \frac{a}{b+1} = 20 \\ P'(0) = \frac{0,75a}{(b+1)^{2}} = 10 \end{cases} $$ Chia vế theo vế: $$ \frac{a}{b+1} : \frac{0,75a}{(b+1)^{2}} = \frac{20}{10} \Rightarrow \frac{b+1}{0,75} = 2 \Rightarrow b = 0,5 \Rightarrow a = 30 $$ Xét hàm số $P'(t) = \frac{22,5e^{-0,75t}}{(0,5 + e^{-0,75t})^{2}}$. Đặt $u = e^{-0,75t}$ ($0 < u \leq 1$): $$ P'(u) = \frac{22,5u}{(0,5+u)^{2}} $$ Xét hàm số $f(u) = \frac{u}{(0,5+u)^{2}}$, ta có $f'(u) = \frac{0,5-u}{(0,5+u)^{3}}$. $f'(u) = 0 \Leftrightarrow u = 0,5$. Vậy tốc độ sinh trưởng đạt tối đa khi $e^{-0,75t} = 0,5$. Khi đó, số lượng tế bào là: $$ P = \frac{a}{b + u} = \frac{30}{0,5 + 0,5} = 30 \text{ (tế bào)}. $$