(Sở Hà Tĩnh 2025) Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí $ A $ và $ B $cách nhau $ 4km $. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí $ C $ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $ AB $, cách trung điểm $ M $của đoạn thẳng $ AB $ một khoảng $ 4km $. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước $ C $đến một vị trí $ I $nằm giữa đoạn thẳng $ MC $sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy $ A $ và $ B $(hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu $ km $? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

+ Gọi $ CI=x\left ( { km } \right ),\left ( { 0\leq x\leq 4 } \right )⇒IM=4-x $. + Khi đó, $ IA=IB=\sqrt[] { 4+\left ( { 4-x } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 20-8x+x ^ { 2 } } $ (Định lý Pi-ta-go). Tổng độ dài đường ống dẫn nước là $ T=CI+IA+IB=x+2\sqrt[] { x ^ { 2 } -8x+20 } $. Xét $ T\left ( { x } \right )=x+2\sqrt[] { x ^ { 2 } -8x+20 },\,0\leq x\leq 4 $. $ T'\left ( { x } \right )=1+\frac { 2x-8 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -8x+20 } } $ Xét $ T'\left ( { x } \right )=0⇔1+\frac { 2x-8 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -8x+20 } }=0 $ $ ⇔\sqrt[] { x ^ { 2 } -8x+20 }=-\left ( { 2x-8 } \right ) $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x\leq 4 \\ x ^ { 2 } -8x+20=\left ( { 2x-8 } \right ) ^ { 2 } \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x\leq 4 \\ 3x ^ { 2 } -24x+44=0 \end{array} \right. $ $ ⇔x=\frac { 12-2\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ ( thỏa mãn điều kiện) Bảng biến thiên Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất xấp xỉ bằng $ 7,46km $.