(Sở Bến Tre 2025) Một hình chữ nhật $ABCD$ được vẽ bên trong parabol $(P)$ sao cho $A, B$ thuộc $(P)$; $C, D$ thuộc trục $Ox$ như hình vẽ (đơn vị trên trục $Ox, Oy$ là mét). Hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải Đồ thị $(P)$ nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên có phương trình $y = ax^{2} + c$. $(P)$ đi qua $(0; 9)$ và $(3; 0)$, ta có: $$ \begin{cases} c = 9 \\ 9a + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 9 \\ a = -1 \end{cases} \Rightarrow (P): y = -x^{2} + 9 $$ Giả sử $C(m; 0)$ với $0 < m < 3$, khi đó $B(m; -m^{2} + 9)$. Hình chữ nhật có $AB = 2m$ và $BC = -m^{2} + 9$. Diện tích hình chữ nhật: $$ S(m) = 2m(-m^{2} + 9) = -2m^{3} + 18m $$ Ta có $S'(m) = -6m^{2} + 18$. Cho $S'(m) = 0 \Rightarrow m = \sqrt{3}$. Diện tích lớn nhất: $$ S_{\max} = S(\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} \approx 20,8 \text{ m}^{2}. $$