(Sở Vùng Tàu 2025) Một màn hình $ NP $ có chiều cao $ 1,6 $ mét được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng $ NM $ bằng $ 1,9 $ mét. Một chiếc đèn chiếu sáng màn hình đặt ở vị trí $ O $ trên mặt đất (xem hình minh họa). Để góc chiếu sáng $ \widehat { NOP } $ lớn nhất thì độ dài đoạn $ OM $ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đặt $ OM=x({ \rm{ m } }) $. Ta có: $ \frac { NP } { \sin \widehat { NOP } }=\frac { ON } { \sin \widehat { OPM } }⇔\sin \widehat { NOP }=\frac { NP.\sin \widehat { OPM } } { ON } \\ ⇒\sin \widehat { NOP }=\frac { NP.\frac { OM } { OP } } { ON }=\frac { NP.OM } { \sqrt[] { OM ^ { 2 } +MN ^ { 2 } }.\sqrt[] { OM ^ { 2 } +MP ^ { 2 } } }=\frac { 1,6.x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1,9 ^ { 2 } }.\sqrt[] { x ^ { 2 } +3,5 ^ { 2 } } } $ Xét hàm số $ y=\frac { 1,6x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1,9 ^ { 2 } }.\sqrt[] { x ^ { 2 } +3,5 ^ { 2 } } }=\frac { 1,6x } { \sqrt[] { x ^ { 4 } +15,86x ^ { 2 } +44,2225 } } $ $ y'=\frac { 1,6(44,2225-x ^ { 4 } ) } { \left ( { \sqrt[] { x ^ { 4 } +15,86x ^ { 2 } +44,2225 } } \right ) ^ { 3 } } \\ y'=0⇔x ^ { 4 } =44,2225⇔x=±\frac { \sqrt[] { 665 } } { 10 }≈±2,59 $ Lập bảng biến thiên với điều kiện $ x>0 $ ta được giá trị lớn nhất của $ y $ đạt được tại $ x=2,59. $ Ta thấy $ \widehat { NOP } $ lớn nhất khi và chỉ khi $ \sin \widehat { NOP } $ lớn nhất hay $ x=2,59 $. Vậy $ OM≈2,59 $ mét.