Trong vật lý, một dao động điều hòa là dao động có phương trình chuyển động $ x\left ( { t } \right )=Acos\left ( { ωt+φ } \right ) $ trong đó $ A $ là biên độ của dao động, $ ω\left ( { rad/s } \right ) $ là tần số góc, $ φ\left ( { rad } \right ) $ là pha ban đầu. Động năng (Tiếng Anh: Kinetic energy) của một vật là năng lượng nó có được từ chuyển động của nó, được xác định bởi công thức $ W=\frac { 1 } { 2 }m.v ^ { 2 } \left ( { t } \right ) $ (đơn vị $ J $). Trong đó $ m\left ( { kg } \right ) $ là khối lượng của vật, $ v\left ( { t } \right )\left ( { m/s } \right ) $ là vận tốc của vật tại thời điểm $ t\left ( { s } \right ) $. Giả sử một vật có khối lượng $ m=100g $ dao động điều hòa với phương trình chuyển động $ x\left ( { t } \right )=40\cos\left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right )\left ( { cm } \right ) $. Khi đó, động năng vật đó đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu $ \left ( { J } \right ) $ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Đáp án chấp nhận: 3158. Lời giải: Ta có $ v\left ( { t } \right )=40\cos\left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right )\left ( { cm } \right )=0,4\cos\left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right )\left ( { m } \right ) $ $ v\left ( { t } \right )=x'\left ( { t } \right )=-80\pi \sin\left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right ) $. $ m=100g=0,1kg $ Suy ra: $ W=\frac { 1 } { 2 }.0,1.\left[ -80\pi \sin\left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right ) \right] ^ { 2 } ⇔W=320\pi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right ) $. Ta có: $ 0\leq \sin ^ { 2 } \left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right )\leq 1⇒0\leq W\leq 320\pi ^ { 2 } $. $ W_{ \max } =320\pi ^ { 2 } ≈3158\left ( { J } \right )⇔\sin ^ { 2 } \left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right )=1⇔\cos\left ( { 200\pi t-\frac { \pi } { 3 } } \right )=0 $. Vậy động năng đạt giá trị lớn nhất bằng $ 3158\left ( { J } \right ) $.

Cùng dạng: Bài toán tối ưu thực tế bằng đạo hàm (diện tích, thể tích, chi phí lớn nhất/nhỏ nhất)