Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho điểm $E(3; 1)$ và $F(\sqrt{2}; 0)$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Lời giải a) Đúng. Giả sử phương trình chính tắc của parabol $(P)$ là $y^2 = 2px$ ($p > 0$). Vì $(P)$ đi qua điểm $E(3; 1)$ nên $1^2 = 2p \cdot 3 \Leftrightarrow 2p = \frac{1}{3} \Rightarrow p = \frac{1}{6}$. Do đó $(P)$ có phương trình chính tắc là $y^2 = \frac{x}{3}$. b) Sai. Giả sử phương trình chính tắc của parabol $(P)$ là $y^2 = 2px$ ($p > 0$). Vì $(P)$ có tiêu điểm $F(\sqrt{2}; 0)$ nên $\frac{p}{2} = \sqrt{2} \Leftrightarrow p = 2\sqrt{2} \Rightarrow 2p = 4\sqrt{2}$. Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ phải là $y^2 = 4\sqrt{2}x$. c) Đúng. Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn của parabol chính bằng tham số tiêu $p$, do đó $p = 4$. Phương trình chính tắc của parabol tương ứng là $y^2 = 2px = 8x$. d) Đúng. Đường thẳng $OE$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ và điểm $E(3; 1)$ nên có phương trình là $x = 3y$. Tọa độ giao điểm của đường thẳng $OE$ và parabol $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} x = 3y \\\\ y^2 = 2px \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x = 3y \\\\ y^2 = 6py \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow O(0; 0) \\\\ y = 6p \Rightarrow x = 18p \Rightarrow K(18p; 6p) \end{array}\right.$ Theo giả thiết, giao điểm $K$ khác $O$ có hoành độ bằng $\frac{9}{2}$, suy ra: $18p = \frac{9}{2} \Leftrightarrow p = \frac{1}{4}$. Vì $p = \frac{m}{n} = \frac{1}{4}$ là phân số tối giản nên $m = 1, n = 4$. Vậy $m + n = 1 + 4 = 5$.