Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy $, cho Elip $ \left ( { E } \right ):\frac { x ^ { 2 } } { 16 }+\frac { y ^ { 2 } } { 9 }=1 $ và đường thẳng $ d:x-y+1=0 $. Gọi $ A $, $ B $ là hai đỉnh của Elip $ \left ( { E } \right ) $ với $ A $ thuộc tia $ Ox $, $ B $ thuộc tia $ Oy $. Gọi $ C\left ( { x;\,y } \right ) $ là điểm có hoành độ lớn hơn 1 trên $ d $ sao cho tam giác $ ABC $ có diện tích bằng $ \frac { 1 } { 2 } $. Tính $ P=14x+7y $

Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } =16⇒a=4⇒A\left ( { 4;0 } \right ) \\ b ^ { 2 } =9⇒b=3⇒B\left ( { 0;3 } \right ) \end{array} \right. $ $ ⇒AB:\frac { x } { 4 }+\frac { y } { 3 }=1⇔3x+4y-12=0 $ và $ AB=5 $. Gọi $ C\left ( { a;a+1 } \right ),\,\,\,\,\left ( { a>1 } \right ) $ là điểm thuộc $ d $ $ ⇒CH=d\left ( { C,AB } \right )=\frac { \left | { 3a+4\left ( { a+1 } \right )-12 } \right | } { 5 }=\frac { \left | { 7a-8 } \right | } { 5 } $. Ta có $ S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }AB.CH=\frac { 1 } { 2 }⋅5⋅\frac { \left | { 7a-8 } \right | } { 5 }=\frac { \left | { 7a-8 } \right | } { 2 } $. Mặt khác, theo giả thiết: $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 } $ $ ⇔\frac { \left | { 7a-8 } \right | } { 2 }=\frac { 1 } { 2 } $ $ ⇔\left[ \begin{array}{l} 7a-8=1 \\ 7a-8=-1 \end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l} a=\frac { 9 } { 7 }\,\,\left ( { t/m } \right ) \\ a=1\,\,\,\left ( { ko\,t/m } \right ) \end{array} \right. $. Suy ra: $ C\left ( { \frac { 9 } { 7 };\frac { 16 } { 7 } } \right ) $. Hay $ x=\frac { 9 } { 7 };\,\,\,y=\frac { 16 } { 7 } $. Vậy $ P=14x+7y=14.\frac { 9 } { 7 }+7.\frac { 16 } { 7 }=18+16=34 $.