Cho hàm số $ y=\frac { 5x+1 } { x-2 } $ có đồ thị $ (C) $. Biết $ y=ax+b $ là phương trình tiếp tuyến của $ (C) $ có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm là số nguyên dương. Tính $ 3a+b $.

Ta có $ y'=f'\left ( { x } \right )=\frac { -11 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } } $. Phương trình tiếp tuyến của $ (C) $ tại điểm $ M\left ( { x_{ 0 } ; y_{ 0 } } \right )∈ (C) $ có dạng $ y=f'\left ( { x_{ 0 } } \right )\left ( { x-x_{ 0 } } \right )+y_{ 0 } $. Ta có $ f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=\frac { -11 } { \left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } } $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ \left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất mà $ x_{ 0 } $ phải là số nguyên dương khác 2 nên $ x_{ 0 } =3 $ thỏa mãn yêu cầu. Với $ x_{ 0 } =3⇒y_{ 0 } =16 $ Khi đó phương trình tiếp tuyến là: $ y=-11\left ( { x-3 } \right )+16⇔y=-11x+49 $. $ ⇒a=-11;b=49⇒3a+b=3.(-11)+49=16 $