Một đa giác có chu vi bằng $158$ cm, độ dài các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng. Biết cạnh lớn nhất có độ dài là $44$ cm. Tìm số cạnh của đa giác đó?

Lời giải Giả sử đa giác có $n$ cạnh ($n \in \mathbb{N}, n \ge 3$). Gọi độ dài các cạnh của đa giác là $u_1, u_2, u_3, \dots, u_n$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 nên $0 < u_1 < u_2 < u_3 < \dots < u_n = 44$ cm. Vì đa giác có chu vi là $158$ cm nên: $$ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n = \frac{(u_1 + u_n)n}{2} $$ hay $158 = \frac{(u_1 + 44)n}{2}$ suy ra $n = \frac{316}{u_1 + 44}$. Mà $n \in \mathbb{N}$ nên $u_1 + 44$ là ước nguyên dương của $316$ hay $u_1 + 44 \in \{1; 2; 4; 79; 158; 316\}$. Ta có bảng giá trị sau: | $u_1 + 44$ | $1, 2, 4$ | $79$ | $158$ | $316$ | |---|---|---|---|---| | $u_1$ | $u_1 < 0$ (loại) | $u_1 = 35$ | $u_1 = 114$ (không thỏa mãn vì $u_n = 44$ cm) | $u_1 = 272$ (không thỏa mãn vì $u_n = 44$ cm) | Vậy đa giác đã cho có $n = \frac{316}{79} = 4$ cạnh.