Một đường hầm một làn xe có mặt cắt ngang dạng một nửa chu kỳ sin. Miệng hầm rộng 28 ft ở mặt đường và cao tối đa 15 ft. Đặt gốc tọa độ tại mép trái của cung sin (xem hình minh họa) Nếu mặt đường rộng 14 ft và có vai rộng 7 ft mỗi bên, tính chiều cao của hầm tại mép đường? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Nguồn tham khảo: en.wikipedia.org/wiki/Interstate_Highway_standards và Ohio Revised Code.

Phương trình của cung sin - Gọi $ x $ đo từ mép trái của hầm (ở mặt đường), và $ y $ là chiều cao tại $ x $. - Vì ta có một nửa chu kỳ sin trên khoảng chiều rộng 28 ft, nghĩa là khi $ x=0 $ thì $ y=0 $, và khi $ x=28 $ thì $ y=0 $; đỉnh (cao nhất) ở giữa, $ x=14 $, với $ y=15 $. - Một nửa chu kỳ sin có dạng $ y=Asin\left ( { π\frac { x } { L } } \right ) $ với $ L=28 $ft cho nửa chu kỳ, và $ A=15 $ft. Vậy phương trình là $ y=15\sin\left ( { \frac { π } { 28 }x } \right ),\quad 0≤x≤28. $ Chiều cao tại mép đường - Mặt đường rộng 14 ft, có vai 7 ft mỗi bên. - Vậy từ mép trái $ x=0 $ tới mép đường bên trái ta có $ x=7 $. (Tương tự bên phải là $ x=28-7=21 $, nhưng do đối xứng, độ cao giống nhau.) - Thay $ x=7 $ vào phương trình: $ y(7)=15\sin\left ( { \frac { π } { 28 }⋅7 } \right )=15\sin\left ( { \frac { π } { 4 } } \right )=15⋅\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { 15\sqrt[] { 2 } } { 2 }≈10,61ft. $ Vậy chiều cao hầm tại mép đường là $ y=\frac { 15\sqrt[] { 2 } } { 2 }≈10,6ft $