Số giờ có ánh sáng của một thành phố$ A $ trong ngày thứ $ t $ của năm $ 2017 $được cho bởi một hàm số $ y=4\sin\left[ \frac { π } { 178 }\left ( { t-60 } \right ) \right]+10 $, với $ t∈Z $ và $ 0 < t≤365 $. Gọi $ t $ là thời điểm ngày trong năm mà thành phố $ A $ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=a ^ { 2 } +2a+t $ là bao nhiêu?

Vì $ \sin\left[ \frac { π } { 178 }\left ( { t-60 } \right ) \right]≤1⇒y=4\sin\left[ \frac { π } { 178 }\left ( { t-60 } \right ) \right]+10≤14 $. Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất $ ⇔y=14⇔\sin\left[ \frac { π } { 178 }\left ( { t-60 } \right ) \right]=1⇔\frac { π } { 178 }\left ( { t-60 } \right )=\frac { π } { 2 }+k2π⇔t=149+356k $. Mà $ 0 < t≤365⇔0 < 149+356k≤365⇔-\frac { 149 } { 356 } < k≤\frac { 54 } { 89 } $. Vì $ k∈\mathbb{Z} $ nên $ k=0 $. Với $ k=0⇒t=149 $ tức rơi vào ngày $ 29 $ tháng $ 5 $ (vì ta đã biết tháng $ 1 $ và $ 3 $ có $ 31 $ ngày, tháng $ 4 $có $ 30 $ ngày, riêng đối với năm $ 2017 $ thì không phải năm nhuận nên tháng $ 2 $có $ 28 $ngày hoặc dựa vào dữ kiện $ 0 < t≤365 $ thì ta biết năm này tháng $ 2 $ chỉ có $ 28 $ngày). $ P=a ^ { 2 } +2a+t=a ^ { 2 } +2a+149=\left ( { a+1 } \right ) ^ { 2 } +148≥148 $.