(THPT Anh Sơn 3 - Nghệ An 2025) Giả sử rằng khi tăng $ t $ năm tuổi, một máy công nghiệp $ A $ tạo ra doanh thu với tốc độ $ R'\left ( { t } \right )=650-3t ^ { 2 } $ (triệu đồng/năm), thời điểm $ t=0 $ tính từ lúc máy $ A $ bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $ C'\left ( { t } \right )=48+12t ^ { 2 } $ (triệu đồng/năm), ở đây $ C\left ( { t } \right ) $ là chi phí vận hành và bảo trì của máy $ A $ khi nó được $ t $ năm tuổi.

a) Đúng. Doanh thu sau 12 năm của máy $ A $ là $ \int _{ 0 }^{ 12 } { \left ( { 650-3t ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ dt } } $ (triệu đồng). b) Đúng. Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy $ A $ trong 6 năm: $ \int _{ 0 }^{ 6 } { \left ( { 48+12t ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ dt } }=\left. { \left ( { 48t+4t ^ { 3 } } \right ) } \right|_{ 0 }^{ 6 }=1152 $ (triệu đồng). c) Sai. Doanh thu của máy $ A $ sau $ t $ năm tuổi được xác định: $ R\left ( { t } \right )=\int { R'\left ( { t } \right ) }{ \rm{ dt } }=\int { \left ( { 650-3t ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ dt } }=650t-t ^ { 3 } +C $. Tại thời điểm $ t=0 $ thì $ R\left ( { t } \right )=0\Rightarrow C=0 \Rightarrow $ $ R\left ( { t } \right )=650t-t ^ { 3 } $. Chi phí vận hành và bảo trì của máy $ A $ khi nó được $ t $ năm tuổi được xác định: $ C\left ( { t } \right )=\int { \left ( { 48+12t ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ dt } }=48t+4t ^ { 3 } +C $. Tại thời điểm $ t=0 $ thì $ C\left ( { t } \right )=0\Rightarrow C=0 $$ \Rightarrow C\left ( { t } \right )=48t+4t ^ { 3 } $. $ \Rightarrow $ Hàm biểu diễn tuổi thọ hữu ích của máy A: $ T\left ( { t } \right )=R\left ( { t } \right )-C\left ( { t } \right )=-5t ^ { 3 } +602t $. Xét hàm số $ T\left ( { t } \right )=-5t ^ { 3 } +602t $ có $ T'\left ( { t } \right )=-15t ^ { 2 } +602=0\Leftrightarrow t=±\sqrt[] { \frac { 602 } { 15 } } $. Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, lợi nhuận của máy $ A $ bắt đầu giảm tại thời điểm $ t=\sqrt[] { \frac { 602 } { 15 } }\approx 6,34 $, đo đó tuổi thọ hữu ích của máy $ A $ là khoảng $ 6 $ năm. d) Đúng. Lợi nhuận do máy $ A $ tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là $ \int _{ 0 }^{ 6 } { \left ( { R'\left ( { t } \right )-C'\left ( { t } \right ) } \right ) }{ \rm{ dt } }=\int _{ 0 }^{ 6 } { \left ( { -15t ^ { 2 } +602 } \right ) }{ \rm{ dt } }=2532 $ (triệu đồng).