(Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $ P'\left ( { x } \right )=-0,0008x+10,4 $. Ở đây $ P\left ( { x } \right ) $ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $ x $ đơn vị sản phẩm.

a) Sai. Lợi nhuận khi bán được $ x $ đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức $ P\left ( { x } \right )=-0.0004x ^ { 2 } +10,4x $. $ P\left ( { x } \right )=\int { P'\left ( { x } \right ) }dx=\int { \left ( { -0,0008x+10,4 } \right )dx=-0.0004x ^ { 2 } +10,4x+C } $. Lợi nhuận ban đầu chưa có nên $ P\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow C=0 $. Vậy $ P\left ( { x } \right )=-0.0004x ^ { 2 } +10,4x $. b) Đúng. Lợi nhuận khi bán được $ 50 $ sản phẩm đầu tiên là $ 519 $ triệu đồng. Ta có $ P\left ( { 50 } \right )=-0,0004.50 ^ { 2 } +10,4.50=519 $ (triệu đồng). c) Sai. Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $ 50 $ lên $ a $ đơn vị sản phẩm lớn hơn $ 517 $ triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của $ a $ là $ 100 $. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $ 50 $ lên $ a $ đơn vị sản phẩm là $ \int _{ 50 }^{ a } { P'\left ( { x } \right ) }dx=\int _{ 50 }^{ a } { \left ( { -0,0008x+10,4 } \right ) }dx=\left. { \left ( { -0,0004x ^ { 2 } +10,4x } \right ) } \right|_{ 50 }^{ a }=-0,0004a ^ { 2 } +10,4a-519 $ triệu đồng. Theo đề ta có $ -0,0004a ^ { 2 } +10,4a-519>517\Leftrightarrow -0,0004a ^ { 2 } +10,4a-1036>0\Leftrightarrow 100 < a < 25\,900 $. Vậy giá trị nhỏ nhất của $ a $ là $ 101 $. d) Sai. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ $ 50 $ lên $ 55 $ đơn vị sản phẩm là $ 51,79 $ triệu đồng. Ta có $ \int _{ 50 }^{ 55 } { P'\left ( { x } \right ) }dx=\int _{ 50 }^{ 55 } { \left ( { -0,0008x+10,4 } \right ) }dx=\left. { \left ( { -0,0004x ^ { 2 } +10,4x } \right ) } \right|_{ 50 }^{ 55 }=51,79 $ triệu đồng.