Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1; 2)$ và $B(3; 4)$. Điểm $P\left(\frac{a}{b}; 0\right)$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) trên trục hoành thỏa mãn tổng khoảng cách từ $P$ tới hai điểm $A$ và $B$ là nhỏ nhất. Tính $S = a + b$.

Gọi $C$ là điểm đối xứng của $A(1; 2)$ qua trục $Ox$. Suy ra $C(1; -2)$. Nhận xét: Điểm $B$ và điểm $C$ nằm về hai phía của trục hoành. Ta có: $PA + PB = PC + PB \ge BC$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm $B, C, P$ thẳng hàng. Ta có $B, C, P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{BP}$ cùng phương với $\vec{BC} \Leftrightarrow \frac{\frac{a}{b} - 3}{-2} = \frac{-4}{-6} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{3}$. Do đó $a = 5, b = 3 \Rightarrow S = a + b = 8$.