Một anh shipper cần giao hàng gấp để kịp tiến độ công việc, anh lên kế hoạch sẽ giao đơn hàng đầu tiên tại điểm $M(a; b)$ cách xa mình nhất sau đó mới quay trở lại giao các điểm gần hơn. Giả sử vị trí ban đầu của anh shipper là điểm $S(1; -1)$ và anh cần giao hàng tại khu vực là một hình tròn có tâm tại điểm $I(4; 3)$, bán kính $R = 2\text{ km}$. Biết rằng mỗi đơn vị trên trục tọa độ $Ox$, $Oy$ tương ứng với $1\text{ km}$. Tính giá trị $T = 3a + 4b$.

Ta có $\vec{SI} = (3; 4) \Rightarrow SI = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, $IM = R = 2$. Dễ thấy khoảng cách xa nhất từ anh shipper đến vị trí giao đơn hàng đầu tiên là $SM = SI + IM = 5 + 2 = 7$, khi đó 3 điểm $S, I, M$ thẳng hàng. Ta có $\vec{SM} = (a-1; b+1)$. Lại có $\vec{SM} = \frac{SM}{SI} \cdot \vec{SI} = \frac{7}{5}\vec{SI} \Rightarrow \begin{cases} a-1 = \frac{7}{5} \cdot 3 \\ b+1 = \frac{7}{5} \cdot 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = \frac{26}{5} \\ b = \frac{23}{5} \end{cases}$. Vậy điểm $M\left(\frac{26}{5}; \frac{23}{5}\right)$. Vậy $T = 3a + 4b = 3 \cdot \frac{26}{5} + 4 \cdot \frac{23}{5} = 34$.