Cho hình chóp $ S.ABCD $, đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, cạnh bên $ SA=a $ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SB $ và $ SD $.

a) Đúng. $ ⇒V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABC } =\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $. $ S_{ ABCD } =AB ^ { 2 } =a ^ { 2 } ⇒V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABCD } =\frac { a ^ { 3 } } { 3 } $. Suy ra: $ \frac { V_{ S.ABC } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { \frac { a ^ { 3 } } { 6 } } { \frac { a ^ { 3 } } { 3 } }=\frac { 1 } { 2 } $. b) Đúng. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $, suy ra $ MH $ là đường trung bình trong tam giác $ SAB $. Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} MH,{ \rm{ // } },SA \\ MH=\frac { 1 } { 2 }SA \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} MH⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ MH=\frac { a } { 2 } \end{array} \right. $. Vậy $ V_{ M.ABC } =\frac { 1 } { 3 }MH.S_{ ABC } =\frac { a ^ { 3 } } { 12 } ⇒\frac { V_{ M.ABC } } { V_{ S.ABC } }=\frac { \frac { a ^ { 3 } } { 12 } } { \frac { a ^ { 3 } } { 6 } }=\frac { 1 } { 2 } $. c) Sai. Ta có: $ \frac { V_{ M.ABC } } { V_{ S.ABC } }=\frac { 1 } { 2 } ⇒V_{ M.ABC } =\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABC } $. Do đó: $ \frac { V_{ S.AMC } } { V_{ S.ABC } }=\frac { V_{ S.ABC } -V_{ M.ABC } } { V_{ S.ABC } } =\frac { V_{ S.ABC } -\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABC } } { V_{ S.ABC } }=\frac { \frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABC } } { V_{ S.ABC } }=\frac { 1 } { 2 } $. d) Đúng. Có $ MN $ là đường trung bình trong tam giác $ SBD $ suy ra $ \frac { SM } { SB }=\frac { SN } { SD }=\frac { MN } { BD }=\frac { 1 } { 2 } $. Suy ra $ ΔSMN∽ΔSBD $ (c-c-c) theo tỉ số đồng dạng $ \frac { 1 } { 2 } $, do đó $ \frac { S_{ SMN } } { S_{ SBD } }=\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { 4 } $. Gọi $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $. Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} V_{ S.AMN } =V_{ A.SMN } =\frac { 1 } { 3 }AK.S_{ SMN } \\ V_{ S.ABD } =V_{ A.SBD } =\frac { 1 } { 3 }AK.S_{ SBD } \end{array} \right. ⇒\frac { V_{ S.AMN } } { V_{ S.ABD } }=\frac { \frac { 1 } { 3 }AK.S_{ SMN } } { \frac { 1 } { 3 }AK.S_{ SBD } }=\frac { 1 } { 4 } $ (1). Mặt khác, $ S_{ ABD } =\frac { 1 } { 2 }AB.AD=\frac { a ^ { 2 } } { 2 } ⇒V_{ S.ABD } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABD } =\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $. Suy ra: $ \frac { V_{ S.ABD } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { \frac { a ^ { 3 } } { 6 } } { \frac { a ^ { 3 } } { 3 } }=\frac { 1 } { 2 } $ (2). Từ (1) và (2) suy ra $ \frac { V_{ S.AMN } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { 1 } { 8 } $.