Cho hình chóp $ S.ABCD $, đáy $ ABCD $ là hình vuông tâm $ O $ cạnh $ a $, $ SO=a $ và $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SA $ và $ N $ là một điểm thuộc cạnh $ SD $.

a) Đúng. $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }SO.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }a.a ^ { 2 } =\frac { a ^ { 3 } } { 3 } $. b) Đúng. $ S_{ ABD } =\frac { 1 } { 2 }AB.AD=\frac { a ^ { 2 } } { 2 } ⇒V_{ S.ABD } =\frac { 1 } { 3 }SO.S_{ ABD } =\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $. Suy ra: $ \frac { V_{ S.ABD } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { \frac { a ^ { 3 } } { 6 } } { \frac { a ^ { 3 } } { 3 } }=\frac { 1 } { 2 } $. c) Sai. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $, suy ra $ MH $ là đường trung bình trong tam giác $ SAO $. Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} MH,{ \rm{ // } },SO \\ MH=\frac { 1 } { 2 }SO \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} MH⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ MH=\frac { a } { 2 } \end{array} \right. $. Vậy $ V_{ M.ABD } =\frac { 1 } { 3 }MH.S_{ ABD } =\frac { a ^ { 3 } } { 12 } ⇒\frac { V_{ M.ABD } } { V_{ S.ABD } }=\frac { \frac { a ^ { 3 } } { 12 } } { \frac { a ^ { 3 } } { 6 } }=\frac { 1 } { 2 } $. d) Đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} S_{ SMN } =\frac { 1 } { 2 }SM.SN.\sin \widehat { MSN } \\ S_{ SAD } =\frac { 1 } { 2 }SA.SD.\sin \widehat { ASD } \end{array} \right. $, mà $ \widehat { MSN }= \widehat { ASD } $. Suy ra: $ \frac { S_{ SMN } } { S_{ SAD } }=\frac { \frac { 1 } { 2 }SM.SN.\sin \widehat { MSN } } { \frac { 1 } { 2 }SA.SD.\sin \widehat { ASD } } =\frac { SM.SN } { SA.SD }=\frac { SM } { SA }.\frac { SN } { SD } =\frac { 1 } { 2 }.\frac { SN } { SD }=\frac { SN } { 2SD } $. Gọi $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ B $ lên mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $. Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} V_{ S.MBN } =V_{ B.SMN } =\frac { 1 } { 3 }BK.S_{ SMN } \\ V_{ S.ABD } =V_{ B.SAD } =\frac { 1 } { 3 }BK.S_{ SAD } \end{array} \right. ⇒\frac { V_{ S.MBN } } { V_{ S.ABD } }=\frac { \frac { 1 } { 3 }BK.S_{ SMN } } { \frac { 1 } { 3 }BK.S_{ SAD } }=\frac { S_{ SMN } } { S_{ SAD } }=\frac { SN } { 2SD } $.