Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều $ABC$ có $AB = a$, $A'C = a\sqrt{3}$. Gọi $N$ là trung điểm của $AA'$. Góc giữa 2 đường thẳng $A'C$ và $BN$ là $\varphi$. Tính $\cos\varphi$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải Gọi $M$ là trung điểm của $BB'$. Suy ra $BN \parallel A'M$. Do đó $\varphi = \widehat{(BN, A'C)} = \widehat{(A'M, A'C)}$. Ta có: $$ AA' = \sqrt{A'C^{2} - AC^{2}} = \sqrt{3a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2} \Rightarrow BM = MB' = \frac{a\sqrt{2}}{2} $$ Ta có: $$ A'M = \sqrt{A'B'^{2} + B'M^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} $$ $$ CM = \sqrt{BC^{2} + BM^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} $$ Do đó: $$ \cos\widehat{MA'C} = \frac{A'M^{2} + A'C^{2} - MC^{2}}{2 \cdot A'M \cdot A'C} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71 $$ Suy ra $\cos\varphi \approx 0,71$.