Anh A vay tiền ngân hàng $ 1 $ tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất $ 0,5\% $/ tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả $ 30 $ triệu đồng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết nợ?

Gọi $ a $ là số tiền vay, $ r $ là lãi suất trên một tháng, $ m $ là số tiền hàng tháng trả. Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: $ N_{ 1 } =a\left ( { 1+r } \right )-m $. Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: $ N_{ 2 } =N_{ 1 } \left ( { 1+r } \right )-m=a\left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -m\left ( { 1+r } \right )-m $. Số tiền nợ sau tháng thứ ba là: $ N_{ 3 } =N_{ 2 } \left ( { 1+r } \right )-m=a\left ( { 1+r } \right ) ^ { 3 } -m\left ( { 1+r } \right ) ^ { 2 } -m\left ( { 1+r } \right )-m. $ Số tiền nợ sau $ n $ tháng là: $ N_{ n } =a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -m\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-1 } -m\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-2 } -...-m\left ( { 1+r } \right )-m= $ $ =a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -m\left ( { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n-1 } +\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-2 } +...+1 } \right )=a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -m\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 } { r } $ Vì sau $ n $ tháng anh A trả hết nợ nên $ N_{ n } =a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -m\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 } { r }=0 $ $ ⇔10 ^ { 9 } \left ( { 1+0,005 } \right ) ^ { n } -30.10 ^ { 6 } \frac { \left ( { 1+0,005 } \right ) ^ { n } -1 } { 0,005 }=0⇔1000\left ( { 1+0,005 } \right ) ^ { n } -30.\frac { \left ( { 1+0,005 } \right ) ^ { n } -1 } { 0,005 }=0 $ $ ⇔100.1,005 ^ { n } -3.200.\left ( { 1,005 ^ { n } -1 } \right )=0⇔5.1,005 ^ { n } =6⇔n=\log_{ 1,005 } \frac { 6 } { 5 }≈36,55 $. Vậy sau $ 37 $ tháng thì anh A trả hết nợ.