Cho hàm số $ y = \log_{5}\Big(x^{2} - (m - 3)x + 1\Big) $ với tham số $ m $.

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Lời giải Với $ m = 3 $, hàm số đã cho có dạng: $$ y = \log_{5}(x^{2} + 1) $$ Khi đó với $ x = 2 \Rightarrow y = \log_{5}(2^{2} + 1) = \log_{5}5 = 1 $, nên đồ thị hàm số đi qua điểm $ M(2; 1) $. Vậy ý b sai. Với $ m = 1 $, hàm số có dạng: $$ y = \log_{5}(x^{2} + 2x + 1) = \log_{5}(x + 1)^{2} $$ Đặt $ u = (x+1)^{2} $, xác định trên $ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $. Trên $ (-\infty; -1) $, khi $ x $ tăng thì $ x+1 $ tăng dần về $ 0 $ (vẫn âm) nên $ |x+1| $ giảm, do đó $ u $ giảm; vì cơ số $ 5 > 1 $ nên $ y = \log_{5} u $ cũng giảm theo $ x $, tức là hàm số nghịch biến trên $ (-\infty; -1) $. Trên $ (-1; +\infty) $, khi $ x $ tăng thì $ x+1 $ tăng dương nên $ u $ tăng, do đó $ y $ tăng theo $ x $, hàm số đồng biến trên $ (-1; +\infty) $. Vậy ý c sai. Hàm số xác định trên $ \mathbb{R} \Leftrightarrow x^{2} - (m - 3)x + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R} $: $$ \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 > 0 \\ \Delta = (m - 3)^{2} - 4 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \text{Luôn đúng} \\ (m - 3 - 2)(m - 3 + 2) < 0 \end{cases} $$ $$ \Leftrightarrow (m - 5)(m - 1) < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5 $$ Vì $ m $ nguyên nên $ m \in \{2; 3; 4\} $. Vậy có 3 giá trị nguyên của $ m $. Ý d sai.