Bất phương trình $ \frac { \log_{ 3 } \frac { x } { 3 } } { \log_{ 3 } x }-\frac { \log_{ 3 } x ^ { 2 } } { \log_{ 3 } x-1 }\geq 1 $ có $ n $ nghiệm nguyên dương trong khoảng $ (0;2024) $. Tìm $ n $.

Ta có: $ \frac { \log_{ 3 } \frac { x } { 3 } } { \log_{ 3 } x }-\frac { \log_{ 3 } x ^ { 2 } } { \log_{ 3 } x-1 }\geq 1 $ (ĐKXĐ: $ x>0;x\neq 1;x\neq 3 $) $ ⇔\frac { \log_{ 3 } x-1 } { \log_{ 3 } x }-\frac { 2\log_{ 3 } x } { \log_{ 3 } x-1 }\geq 1 $ Đặt $ t=\log_{ 3 } x $. Bất phương trình đã cho trở thành: $ \frac { t-1 } { t }-\frac { 2t } { t-1 }\geq 1 $ $ ⇔\frac { t-1 } { t }-\frac { 2t } { t-1 }-1\geq 0 ⇔\frac { t ^ { 2 } -2t+1-2t ^ { 2 } -t(t-1) } { t(t-1) }\geq 0 ⇔\frac { -2t ^ { 2 } -t+1 } { t(t-1) }\geq 0 $. Giải bất phương trình trên ta thu được nghiệm $ \left[ \begin{array}{l} -1\leq t < 0 \\ 0.5\leq t < 1 \end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l} -1\leq \log_{ 3 } x < 0 \\ 0.5\leq \log_{ 3 } x < 1 \end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l} \frac { 1 } { 3 }\leq x < 1 \\ \sqrt[] { 3 }\leq x < 3 \end{array} \right. $. Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên dương trong khoảng $ (0;2024) $.