Cho biểu thức $ f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2025 ^ { x } +45 } $. Đặt $ S=f\left ( { -2024 } \right )+f\left ( { -2023 } \right )+...+f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 1 } \right )+...+f\left ( { 2025 } \right ) $, giá trị $ S $ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Ta chứng minh: với $ a+b=1 $ thì $ f\left ( { a } \right )+f\left ( { b } \right )=\frac { 1 } { 45 } $. Ta có: $ f\left ( { a } \right )+f\left ( { b } \right )=\frac { 1 } { 2025 ^ { a } +45 }+\frac { 1 } { 2025 ^ { b } +45 } $ $ \,=\frac { 1 } { 45 }\left ( { \frac { 1 } { 2025 ^ { a-\frac { 1 } { 2 } } +1 }+\frac { 1 } { 2025 ^ { b-\frac { 1 } { 2 } } +1 } } \right )\,=\frac { 1 } { 45 }\left ( { \frac { 1 } { 2025 ^ { a-\frac { 1 } { 2 } } +1 }+\frac { 1 } { 2025 ^ { 1-a-\frac { 1 } { 2 } } +1 } } \right ) $ $ =\frac { 1 } { 45 }\left ( { \frac { 1 } { 2025 ^ { a-\frac { 1 } { 2 } } +1 }+\frac { 2025 ^ { a-\frac { 1 } { 2 } } } { 2025 ^ { a-\frac { 1 } { 2 } } +1 } } \right )\, =\frac { 1 } { 45 } $ Áp dụng công thức trên: $ f\left ( { -2024 } \right )+f\left ( { 2025 } \right )=\frac { 1 } { 45 } $ $ f\left ( { -2023 } \right )+f\left ( { 2024 } \right )=\frac { 1 } { 45 } $ $ \begin{array}{l} ... \\ f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { 1 } \right )=\frac { 1 } { 45 } \end{array} $ Vậy $ S=\frac { 2025 } { 45 }=45 $, thuộc khoảng $ \left ( { 0;50 } \right ) $. Chọn đáp án A.