Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-4; 0; 2024)$, $B(1; -1; 2025)$ và điểm $M(a; b; 0)$ sao cho $MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất. Giá trị nguyên của $a + b$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Gọi $I$ là trung điểm $AB$, suy ra $I\left(-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{4049}{2}\right)$ và $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$. Ta có: $$ MA^2 + MB^2 = \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2 = 2\overrightarrow{MI}^2 + IA^2 + IB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2} $$ Vậy $MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $2MI^2$ nhỏ nhất. Vì $M(a; b; 0) \in (Oxy)$ nên $M$ là hình chiếu của $I$ trên $(Oxy)$. Suy ra $M\left(-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; 0\right)$, do đó $a + b = -\frac{3}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$.