Trong không gian với hệ trục toạ độ $ Oxyz $, cho các điểm $ A\left ( { 2;-1;6 } \right ),\,B\left ( { 1;1;2 } \right ),\, C\left ( { -3;-2;4 } \right ),\, D\left ( { 1;6;-4 } \right ) $. Điểm $ M $ di động trên mặt phẳng $ \left ( { Oyz } \right ) $. Khi biểu thức $ T=\left ( { \frac { MA } { MD } } \right ) ^ { 2 } -3\left ( { \frac { MB } { MD } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { MC } { MD } } \right ) ^ { 2 } $ đạt giá trị lớn nhất thì tung độ của điểm $ M $ bằng bao nhiêu?

Ta có $ M\left ( { 0;y;z } \right ) $ $ \overset\rightarrow { MA }=(2;\,\,-1-y;\,\,6-z),\overset\rightarrow { MB }=(1;\,\,1-y;\,\,2-z), \\ \overset\rightarrow { MC }=(-3;\,\,-2-y;\,\,4-z),\overset\rightarrow { MD }=(1;\,\,6-y;\,\,-4-z) $ Khi đó $ T=\left ( { \frac { MA } { MD } } \right ) ^ { 2 } -3\left ( { \frac { MB } { MD } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { MC } { MD } } \right ) ^ { 2 } =\frac { -\left ( { y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -12y+8z+53 } \right )+105 } { y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -12y+8z+53 } \\ \,\,\,=-1+\frac { 105 } { \left ( { y-6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+4 } \right ) ^ { 2 } +1 } $ Ta có $ \left ( { y-6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+4 } \right ) ^ { 2 } +1\geq 1 $, suy ra $ T_{ \max } ⇔\left ( { y-6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+4 } \right ) ^ { 2 } +1=1⇔\left \{ \begin{array}{l} y-6=0 \\ z+4=0 \end{array} \right. $, Do đó $ M\left ( { 0;6;-4 } \right ) $. Vậy $ y=6 $.