(THPT Sào Nam - Quảng Nam 2025) Trong không gian $ Oxyz $, tính thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ OABC $? (kết quả làm tròn chính xác đến hàng phần trăm) biết $ A\left ( { a;0;0 } \right ) $, $ B\left ( { 0;a;0 } \right ) $, $ C\left ( { 0;0;b } \right ) $ với $ \left | { a } \right |+\left | { b } \right |=4 $.

Ta có $ V=\frac { 1 } { 6 }a ^ { 2 } ⋅b $. Trường hợp 1. Với $ a>0 $, $ b>0 $ ta có $ a+b=4⇔b=-a+4 $. Khi đó: $ V=\frac { 1 } { 6 }a ^ { 2 } b=\frac { 1 } { 6 }a ^ { 2 } \left ( { -a+4 } \right ) =-\frac { 1 } { 6 }a ^ { 3 } +\frac { 2 } { 3 }a ^ { 2 } $. $ V'\left ( { a } \right )=-\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } +\frac { 4 } { 3 }a=0⇔-a\left ( { \frac { 1 } { 2 }a-\frac { 4 } { 3 } } \right )=0 ⇔\left[ \begin{array}{l} a=0 \\ a=\frac { 8 } { 3 } \\ \end{array} \right. $. Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra $ \mathop { \max } \limits_{ \left ( { 0;4 } \right ) } V\left ( { a } \right )=V\left ( { \frac { 8 } { 3 } } \right )=\frac { 128 } { 81 } $. Trường hợp 2. Với $ a>0,b < 0 $ Suy ra $ a-b=4⇔b=a-4 $. Ta có $ V=\frac { 1 } { 6 }a ^ { 2 } \left ( { a-4 } \right )=\frac { 1 } { 6 }a ^ { 3 } -\frac { 2 } { 3 }a ^ { 2 } $. $ V'\left ( { a } \right )=\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } -\frac { 4 } { 3 }a=0⇔\left[ \begin{array}{l} a=0 \\ a=\frac { 8 } { 3 } \\ \end{array} \right. $. Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra $ \mathop { max } \limits_{ \left ( { 0;4 } \right ) } V\left ( { a } \right ) $ $ ⇒ $ loại. Trường hợp 3. Với $ a < 0 $, $ b>0 $. Ta có: $ -a+b=4⇔b=a+4 $. Suy ra $ V=\frac { 1 } { 6 }a ^ { 2 } \left ( { a+4 } \right )=\frac { 1 } { 6 }a ^ { 3 } +\frac { 2 } { 3 }a ^ { 2 } $. $ V'\left ( { a } \right )=\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } +\frac { 4 } { 3 }a=0⇔\left[ \begin{array}{l} a=0 \\ a=-\frac { 8 } { 3 } \\ \end{array} \right. $. Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra $ \mathop { max } \limits_{ \left ( { 0;4 } \right ) } V\left ( { a } \right ) $ $ ⇒ $ loại. Trường hợp 4. Với $ a < 0 $, $ b < 0 $. Tương tự, ta có $ \mathop { max } \limits_{ \left ( { 0;4 } \right ) } V\left ( { a } \right ) $ ở trường hợp này cũng không vượt quá giá trị đạt được ở Trường hợp 1. Vậy thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ OABC $ là $ V=\frac { 128 } { 81 }≈1,58. $