(Sở Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, cho các điểm $ A\left ( { 3;-2;-1 } \right ) $,$ B\left ( { 1;4;6 } \right ) $,$ C\left ( { 3;38;-16 } \right ) $,$ D\left ( { 2;5;1 } \right ) $. Điểm $ M\left ( { a;b;c } \right ) $thỏa mãn biểu thức $ P=MD ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }.MD ^ { 3 } -4MA ^ { 2 } -5MB ^ { 2 } -MC ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ Q\,\,=\,\,a\,\,+\,\,b\,\,+\,\,c $? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Ta có: $ \overset\rightarrow { DA }=\left ( { 1;-7;-2 } \right );\overset\rightarrow { DB }=\left ( { -1;-1;5 } \right );\overset\rightarrow { DC }=\left ( { 1;33;-17 } \right ) $ Vì $ 4\overset\rightarrow { DA }+5\overset\rightarrow { DB }+\overset\rightarrow { DC }=\overset\rightarrow { O } ⇒4MA ^ { 2 } +5MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =4\left ( { \overset\rightarrow { MD }+\overset\rightarrow { DA } } \right ) ^ { 2 } +5\left ( { \overset\rightarrow { MD }+\overset\rightarrow { DB } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \overset\rightarrow { MD }+\overset\rightarrow { DC } } \right ) ^ { 2 } =10MD ^ { 2 } +1730 $ Ta có:$ P=MD ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }.MD ^ { 3 } -10.MD ^ { 2 } -1730 $ Đặt$ u=MD\geq 0 ⇒MD ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }.MD ^ { 3 } -10.MD ^ { 2 } -1730=u ^ { 4 } -\frac { 16 } { 3 }.u ^ { 3 } -10u ^ { 2 } -1730=f\left ( { u } \right ) $ $ f'\left ( { u } \right )=4u ^ { 3 } -16u ^ { 2 } -20u=0⇔\left[ \begin{array}{l} u=5. \\ u=0. \\ u=-1(L) \end{array} \right. $ $ ⇒\mathop { min } \limits_{ \left [ { 0;\,+\infty } \right ) } f\left ( { u } \right )=f\left ( { 5 } \right )=\frac { -6065 } { 3 } $. Biểu thức $ P $đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $ MD=5⇔\left ( { a-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-5 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { c-1 } \right ) ^ { 2 } =25. $ Mặt khác: $ \left[ \left ( { a-2 } \right ).1+\left ( { b-5 } \right ).1+(c-1).1 \right] ^ { 2 } \leq \left[ \left ( { a-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-5 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { c-1 } \right ) ^ { 2 } \right]\left ( { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } \right )=75 ⇒\,\,Q\,\,=a\,+b\,+\,c\,\,\leq 5\sqrt[] { 3 }+8≈16,7. $