Trong không gian $Oxyz$ cho 3 điểm $A(1; 2; 3), B(-3; 4; -1), C(2; 0; -2)$.

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Ta có $\overrightarrow{BA} = (4; -2; 4)$ và $\overrightarrow{BC} = (5; -4; -1)$. $$ \cos\widehat{ABC} = \cos\Big(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}\Big) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{\Big| \overrightarrow{BA} \Big| \cdot \Big| \overrightarrow{BC} \Big|} = \frac{4 \cdot 5 + (-2) \cdot (-4) + 4 \cdot (-1)}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} \cdot \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-1)^2}} = \frac{24}{6\sqrt{42}} = \frac{4}{\sqrt{42}} \approx 0,617 $$ Vì $0,617 > 0,5 = \cos 60^\circ$ suy ra $\widehat{ABC}$ là góc nhỏ hơn $60^\circ$. b) Gọi $D(a; b; c)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$. Ta có: $$ \begin{cases} a - 1 = 2(-3 - 1) - 3(2 - 1) \\ b - 2 = 2(4 - 2) - 3(0 - 2) \\ c - 3 = 2(-1 - 3) - 3(-2 - 3) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -10 \\ b = 12 \\ c = 10 \end{cases} $$ Khi đó $a + b + 2c = -10 + 12 + 2 \cdot 10 = 22$. c) Gọi $E$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, ta có $E(a; b; 0)$. Ta có $\overrightarrow{AB} = (-4; 2; -4)$ và $\overrightarrow{AE} = (a - 1; b - 2; -3)$. Ba điểm $A, B, E$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AE}$ cùng phương. $$ \Rightarrow \frac{a - 1}{-4} = \frac{b - 2}{2} = \frac{-3}{-4} \Rightarrow \begin{cases} a = -2 \\ b = \frac{7}{2} \end{cases} $$ Suy ra $E\Big(-2; \frac{7}{2}; 0\Big)$. Khi đó tổng hoành độ, tung độ, cao độ của điểm $E$ bằng $-2 + \frac{7}{2} + 0 = \frac{3}{2}$. d) Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $G(0; 2; 0)$. Tọa độ trung điểm của $AB$ là $I(-1; 3; 1)$. Khi đó $\overrightarrow{IG} = (1; -1; -1)$.