Xếp ngẫu nhiên $ 10 $ học sinh gồm $ 2 $ học sinh lớp 12A, $ 3 $ học sinh lớp 12B và $ 5 $ học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong $ 10 $ học sinh trên không có $ 2 $ học sinh cùng lớp nào đứng cạnh nhau bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $ A $ là biến cố “$ 10 $ học sinh xếp thành hàng ngang và không có $ 2 $ học sinh cùng lớp nào đứng cạnh nhau”. Số phần tử của không gian mẫu là $ n(Ω)=10! $. Ta đếm số cách xếp hàng để biến cố $ A $ xảy ra. 1.Xếp $ 5 $ học sinh lớp 12C, có $ 5! $. Khi đó, $ 5 $ học sinh lớp 12C tạo ra $ 6 $ khoảng trống được đánh số từ $ 1 $ đến $ 6 $ như sau: $ 1C2C3C4C5C6 $. 2.Xếp $ 5 $ học sinh còn lại (gồm $ 2 $ học sinh lớp 12A, $ 3 $ học sinh lớp 12B) vào các khoảng trống sao cho thỏa mãn để biến cố $ A $ xảy ra. Khi đó chỉ xảy ra hai trường hợp -Trường hợp 1: Xếp $ 5 $ học sinh lớp 12A và 12B vào các vị trí $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $ hoặc các vị trí $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $, $ 6 $: có $ 2⋅5!=240 $ cách xếp. -Trường hợp 2: Xếp $ 5 $ học sinh của hai lớp 12A và 12B vào các vị trí $ 2 $, $ 3 $, $ 4 $, $ 5 $; trong đó có $ 1 $ vị trí xếp $ 2 $ học sinh gồm $ 1 $ học sinh lớp 12A và $ 1 $ học sinh lớp 12B; $ 3 $ vị trí còn lại mỗi vị trí xếp $ 1 $ học sinh. + Có $ 4 $ cách chọn vị trí xếp $ 2 $ học sinh. + Có $ 2⋅3 $ cách chọn cặp học sinh gồm $ 1 $ học sinh lớp 12A và $ 1 $ học sinh lớp 12B. Suy ra có $ \left ( { 4⋅2⋅3 } \right )⋅2! $ cách xếp $ 2 $ học sinh gồm $ 1 $ học sinh lớp 12A và $ 1 $ học sinh lớp 12B vào $ 1 $ vị trí. Tương ứng với mỗi cách xếp này, có $ 3! $ cách xếp $ 3 $ học sinh vào $ 3 $ vị trí còn lại (mỗi vị trí có $ 1 $ học sinh). Do đó trường hợp này có $ \left ( { 4⋅2⋅3 } \right )⋅2!⋅3!=288 $ cách xếp. Do đó $ n(A)=5!⋅\left ( { 240+288 } \right )=63360 $. Xác suất cần tìm $ { \rm{ P } }(A)=\frac { n(A) } { n(Ω) }=\frac { 63360 } { 10! }=\frac { 11 } { 630 }≈0,02 $.