Ba bạn An, Chiến, Phong mỗi bạn viết lên bảng một số tự nhiên nhỏ hơn $ 32 $. Số cách để tích ba số tự nhiên được viết lên bảng chia hết cho $ 4 $nhưng không chia hết cho $ 16 $ là một số tự nhiên có dạng $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5} $, Tính $ P=a_{ 1 } +a_{ 2 } +a_{ 3 } +a_{ 4 } +a_{ 5 } $

Tập các số tự nhiên nhỏ hơn $ 32 $ là $ X=\left\{0; 1; 2;......;31\right\} $ Chia $ X $ thành $ 4 $ tập nhỏ: $ X_{ 1 } =\left\{0; 16\right\} $ là các số chia hết cho $ 16 $, tập $ X_{ 1 } $ có $ 2 $số. $ X_{ 2 } =\left\{4; 8;12; 20;24; 28\right\} $ là các số chia hết cho $ 4 $và không chia hết cho $ 16 $, tập $ X_{ 2 } $ có $ 6 $ số$ X_{ 3 } =\left\{2; 6;10; 14;18; 22;26;30\right\} $ tập $ X_{ 3 } $ có $ 8 $ số.$ X_{ 4 } =\left\{1; 3;5; 7;9; 11;13;15;17;19;21;23;25;27;29;31\right\} $ tập $ X_{ 4 } $ có $ 16 $ số. Để tích ba số tự nhiên được viết lên bảng chia hết cho $ 4 $ nhưng không chia hết cho $ 16 $. Các trường hợp xảy ra là: TH1: $ 1 $ số thuộc $ X_{ 2 } $, $ 1 $ số thuộc $ X_{ 3 } $,$ 1 $ số thuộc $ X_{ 4 } $. Có $ 6.8.16.3!=4608 $. TH2: $ 1 $ số thuộc $ X_{ 2 } $, $ 2 $ số thuộc $ X_{ 4 } $. Có $ 6.16.16.3!=9216 $. TH3: $ 2 $ số thuộc $ X_{ 3 } $, $ 1 $ số thuộc $ X_{ 4 } $. Có $ 8.8.16.3!=6144 $. Số cách viết để ba số tự nhiên được viết lên bảng chia hết cho $ 4 $nhưng không chia hết cho $ 16 $bằng $ 4608+9216+6144=19968 $$ ⇒P=a_{ 1 } +a_{ 2 } +a_{ 3 } +a_{ 4 } +a_{ 5 } =1+9+9+6+8=33 $.