Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } ight ) $ với $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \ u_{ n+1 } =u_{ n } +\left ( { -1 } ight ) ^ { 2n } \end{array} ight. $. Số hạng tổng quát $ u_{ n } $ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Question

Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } ight ) $ với $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \ u_{ n+1 } =u_{ n } +\left ( { -1 } ight ) ^ { 2n } \end{array} ight. $. Số hạng tổng quát $ u_{ n } $ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Beedemy · Accepted Answer

D. $ u_{ n } =n $. Lời giải: Chọn D. Ta có: $ u_{ n+1 } =u_{ n } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2n } =u_{ n } +1⇒u_{ 2 } =2;u_{ 3 } =3;u_{ 4 } =4;... $ Dễ dàng dự đoán được $ u_{ n } =n $. Thật vậy, ta chứng minh được $ u_{ n } =n \left ( { * } \right ) $ bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với $ n=1⇒u_{ 1 } =1 $. Vậy $ \left ( { * } \right ) $ đúng với $ n=1 $ + Giả sử $ \left ( { * } \right ) $ đúng với mọi $ n=k\left ( { k∈\mathbb{N} ^ { * } } \right ) $, ta có: $ u_{ k } =k $. Ta đi chứng minh $ \left ( { * } \right ) $ cũng đúng với $ n=k+1 $, tức là: $ u_{ k+1 } =k+1 $ + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ ta có: $ u_{ k+1 } =u_{ k } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2k } =k+1 $. Vậy $ \left ( { * } \right ) $ đúng với mọi $ n∈\mathbb{N} ^ { * } $.

Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ với $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \\ u_{ n+1 } =u_{ n } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2n } \end{array} \right. $. Số hạng tổng quát $ u_{ n } $ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Cùng dạng: Tính giá trị số hạng và số thứ tự khi biết công thức tổng quát