Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn $1 ext{ m}$ so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc $\alpha \in (0^\circ; 180^\circ)$ sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng $(P)$ chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng $(P)$ so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống $1 ext{ m}$ theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, thân tháp là trục $Oz$ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm $A(6; 8; 0)$ và vị trí cần đặt vật liệu là điểm $B(4; -3; 15)$. Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Question

Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn $1	ext{ m}$ so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc $\alpha \in (0^\circ; 180^\circ)$ sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng $(P)$ chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng $(P)$ so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống $1	ext{ m}$ theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, thân tháp là trục $Oz$ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm $A(6; 8; 0)$ và vị trí cần đặt vật liệu là điểm $B(4; -3; 15)$. Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Beedemy · Accepted Answer

Đáp án chấp nhận: 37,7. Lời giải: Lời giải Gọi $A'$, $B'$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ và điểm $B$ trên mặt phẳng $(Oxy)$. Lúc đầu vật liệu ở vị trí $A'(6; 8; 0)$ di chuyển thẳng đứng theo phương song song với trục $Oz$ một quãng đường $16	ext{ m}$ (cao hơn độ cao $15	ext{ m}$ của vị trí điểm đến là $1	ext{ m}$). Tiếp theo cẩu trục quay cần nâng một góc có độ lớn $90^\circ$, khi đó vật liệu di chuyển một quãng đường theo cung tròn có độ dài: $$ l = R\alpha = OA' \cdot \frac{\pi}{2} = 10 \cdot \frac{\pi}{2} = 5\pi. $$ Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển trên cần nâng từ bán kính $OA' = 10	ext{ m}$ đến vị trí có bán kính bằng $OB' = 5	ext{ m}$, tức là vật liệu di chuyển quãng đường bằng $|10 - 5| = 5	ext{ m}$. Cuối cùng móc cẩu hạ vật liệu xuống $1	ext{ m}$ theo phương thẳng đứng đến đúng vị trí cần đặt là điểm $B(4; -3; 15)$. Vậy tổng quãng đường di chuyển của vật liệu là: $$ 16 + 5\pi + 5 + 1 \approx 37,7	ext{ m}. $$

Cùng dạng: Vận dụng tọa độ vectơ vào bài toán thực tiễn (vị trí, lực, vận tốc, công của lực)