Trong không gian chọn hệ trục toạ độ cho trước, đơn vị đo là kilômet, một rada phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1100; 650; 14)$ đến điểm $N$ trong 20 phút. Nếu đến $N$ máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là $Q(1500; 860; 16)$. Biết một khẩu pháo ở toạ độ vị trí điểm $E\Big(\frac{1700}{3}; 370; \frac{34}{3}\Big)$ được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí $N$. Sau bao nhiêu phút khi máy bay bay từ $M$ thì người điều khiển pháo phải bắn.

Lời giải Do vận tốc của máy bay không đổi nên thời gian và quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Thời gian máy bay di chuyển từ $M$ đến $Q$ là 30 phút nên $\frac{MN}{MQ} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$, do đó $\overset{\rightarrow}{MN} = \frac{2}{3}\overset{\rightarrow}{MQ}$. Ta có $\overset{\rightarrow}{MN} = (x_N - 1100; y_N - 650; z_N - 14)$ và $\overset{\rightarrow}{MQ} = (400; 210; 2)$. Suy ra: $$ \begin{cases} x_N = \frac{2}{3} \cdot 400 + 1100 = \frac{4100}{3} \\ y_N = \frac{2}{3} \cdot 210 + 650 = 790 \\ z_N = \frac{2}{3} \cdot 2 + 14 = \frac{46}{3} \end{cases} $$ Tức là $N\Big(\frac{4100}{3}; 790; \frac{46}{3}\Big)$. Ta có $\overset{\rightarrow}{MN} = \Big(\frac{800}{3}; 140; \frac{4}{3}\Big)$ và $\overset{\rightarrow}{ME} = \Big(-\frac{1600}{3}; -280; -\frac{8}{3}\Big)$. Khi đó: $$ \frac{\frac{800}{3}}{-\frac{1600}{3}} = \frac{140}{-280} = \frac{\frac{4}{3}}{-\frac{8}{3}} = -\frac{1}{2} $$ Nên ba điểm $M$, $E$, $N$ thẳng hàng; $M$ nằm giữa $E$ và $N$; $ME = 2MN$. Giả sử sau $x$ phút khi máy bay bay từ $M$ thì người điều khiển pháo phải bắn. Khi đó vận tốc khẩu pháo là $\frac{EN}{20 - x}$ (km/phút); vận tốc máy bay là $\frac{MN}{20}$ (km/phút). Theo đề bài, ta có: $$ \frac{EN}{20 - x} = 5 \cdot \frac{MN}{20} = \frac{MN}{4} $$ Vì $M$ nằm giữa $E$ và $N$ và $ME = 2MN$ nên $EN = ME + MN = 3MN$. Suy ra: $$ \frac{3MN}{20 - x} = \frac{MN}{4} \Leftrightarrow 20 - x = 12 \Leftrightarrow x = 8. $$ Vậy sau 8 phút khi máy bay bay từ $M$ thì người điều khiển pháo phải bắn.