Một bức tường cao 2 m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2 m. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà. Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét?

Lời giải Đặt $x$ là khoảng cách từ chân thang đến bức tường ($x > 0$). Độ dài thang $L$ được tính bởi công thức dựa trên tam giác đồng dạng: $$ L(x) = \sqrt{x^2 + 2^2} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+2}{x}\sqrt{x^2+4} $$ Xét hàm số $f(x) = \frac{x+2}{x}\sqrt{x^2+4}$. Đạo hàm: $$ f'(x) = -\frac{2}{x^2}\sqrt{x^2+4} + \frac{x+2}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{-2(x^2+4) + x^2(x+2)}{x^2\sqrt{x^2+4}} = \frac{x^3 - 8}{x^2\sqrt{x^2+4}} $$ Giải $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2$. Tại $x = 2$, độ dài thang là: $$ L(2) = \frac{2+2}{2}\sqrt{2^2+4} = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2} \approx 5,66 \text{ (m)} $$ Vậy chiều dài tối thiểu của thang là $4\sqrt{2}$ m.