Trắc nghiệm · Câu 28
Một người thợ gò làm một cái hòm dạng hình hộp chữ nhật có nắp bằng tôn. Biết rằng độ dài đường chéo hình hộp bằng $ 3\sqrt { 2 }\,dm $ và chi được sử dụng vừa đủ $ 18{ \rm{ dm } } ^ { 2 } $ tôn. Với yêu cầu như trên người thợ có thể làm được cái hòm có thể tích lớn nhất bằng
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$ 4{ \rm{ dm } } ^ { 3 } $.
Lời giải
Chọn D
Gọi $ a,b,c\left ( { a>0,b>0,c>0 } \right ) $ là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật. Không mất tính tổng quát $ 0 < c\leq b\leq a. $
Theo bài ra $ \sqrt { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } }=3\sqrt { 2 }⇒a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =18\left ( { 1 } \right ). $
Diện tích toàn phần của khối hộp là $ 2ab+2bc+2ca=18\left ( { 2 } \right ). $
Từ $ \left ( { 1 } \right ),\left ( { 2 } \right ) $ ta có $ \left ( { a+b+c } \right ) ^ { 2 } =a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } +2ab+2bc+2ca=36⇒a+b+c=6\left ( { 3 } \right ). $
Từ $ \left ( { 3 } \right ),\left ( { 2 } \right ) $ ta có: $ ab+c\left ( { 6-c } \right )=9⇒ab=9+c ^ { 2 } -6c. $
Thể tích của cái hòm $ V=abc=\left ( { c ^ { 2 } -6c+9 } \right )c=c ^ { 3 } -6c ^ { 2 } +9c,\left ( { 0 < c < \sqrt { 6 } } \right ). $
Đặt $ h\left ( { c } \right )=c ^ { 3 } -6c ^ { 2 } +9c⇒h'\left ( { c } \right )=3c ^ { 2 } -12c+9⇒h'\left ( { c } \right )=0⇔\left[ \begin{array}{l} c=1 \\ c=3 \end{array} \right. $
Thể tích lớn nhất bằng $ 4\,\mathrm{dm^3} $ khi $ c=1,a=4,b=1. $