Một công ty muốn xây một đường ống dẫn từ một điểm $ A $ trên bờ biển đến một điểm $ B $ trên một hòn đảo. Giá để xây đường ống trên bờ là $ 50000 $ USD mỗi km và $ 130000 $ USD để xây mỗi km dưới nước. Gọi $ C $ là điểm trên bờ biển sao cho $ BC $ vuông góc với bờ biển, $ BC=6 $km, $ AC=9 $km. Gọi $ M $ là vị trí trên đoạn $ AC $ sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc $ AMB $ thì chi phí ít nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao nhiêu? Trả lời:……………………

- Đặt $ CM=x \left ( { { \rm{ km } } } \right ) $, với $ 0\leq x\leq 9 $. - Ta có: tổng chi phí để xây dựng đường ống dẫn theo đường gấp khúc $ AMB $ là: $ T=50000.\left ( { 9-x } \right )+130000.\sqrt { x ^ { 2 } +36 } $ USD. Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=50000.\left ( { 9-x } \right )+130000.\sqrt { x ^ { 2 } +36 } $ trên đoạn $ \left[ 0;9 \right] $, ta có : $ f'\left ( { x } \right )=-5000+\frac { 13000x } { \sqrt { x ^ { 2 } +36 } }=0 $. Lại có : $ f\left ( { 0 } \right )=1230000 $, $ f\left ( { \frac { 5 } { 2 } } \right )=1170000 $, $ f\left ( { 9 } \right )≈1406165 $. Vậy $ T_{ \min } =1170000 $ USD.