Bạn A có một đoạn dây dài $ 20m $, bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều, phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất.

Giả sử độ dài của đoạn dây là $ AB=20m $. Đoạn dây được chia thành hai phần +) Phần thứ nhất là $ AM=x $, (với $ 0 < x < 20 $) được uốn thành một tam giác đều có cạnh là $ \frac { x } { 3 }m $ $ ⇒ $ Diện tích của tam giác là $ \frac { \sqrt[] { 3 } } { 36 }x ^ { 2 } $. +) Phần thứ hai là $ BM=20-x $ được uốn thành hình vuông có cạnh là $ \frac { 20-x } { 4 }m $ $ ⇒ $ Diện tích của hình vuông là $ \frac { \left ( { 20-x } \right ) ^ { 2 } } { 16 } $. $ ⇒ $ Tổng diện tích của hai hình là $ \frac { \sqrt[] { 3 } } { 36 }x ^ { 2 } +\frac { \left ( { 20-x } \right ) ^ { 2 } } { 16 } $ Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 36 }x ^ { 2 } +\frac { \left ( { 20-x } \right ) ^ { 2 } } { 16 } $ (với $ 0 < x < 20 $) Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 18 }+\frac { 1 } { 8 } } \right )x-\frac { 5 } { 2 } $; $ f'\left ( { x } \right )=0⇔x=\frac { 180 } { 4\sqrt[] { 3 }+9 } $ BBT Từ BBT suy ra hàm số đạt GTNN khi $ x=\frac { 180 } { 4\sqrt[] { 3 }+9 } $ (m). Vậy độ dài phần đầu bằng $ \frac { 180 } { 9+4\sqrt[] { 3 } }m $.