Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng.

Lời giải Đặt $AD = x$ (km), với $0 < x < 9$. Khi đó $CD = 9 - x$. Độ dài đoạn đường dưới nước là $BD = \sqrt{6^2 + (9 - x)^2} = \sqrt{36 + (9 - x)^2}$. Chi phí lắp đặt (đơn vị: 100 triệu đồng) là: $$ f(x) = x + 2,6\sqrt{36 + (9 - x)^2} $$ Đạo hàm: $$ f'(x) = 1 + 2,6 \cdot \frac{2(9 - x) \cdot (-1)}{2\sqrt{36 + (9 - x)^2}} = 1 - \frac{2,6(9 - x)}{\sqrt{36 + (9 - x)^2}} $$ Giải $f'(x) = 0$: $$ \sqrt{36 + (9 - x)^2} = 2,6(9 - x) $$ $$ 36 + (9 - x)^2 = 6,76(9 - x)^2 $$ $$ 5,76(9 - x)^2 = 36 \Rightarrow (9 - x)^2 = 6,25 \Rightarrow 9 - x = 2,5 \Rightarrow x = 6,5 $$ Vậy khoảng cách $AD = 6,5$ km để chi phí là thấp nhất.