Trắc nghiệm · Câu 31
Một cái ao hình $ABCDE$ (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính $10$ m. Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ $AB$ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu $l$ của cây cầu biết: - Hai bờ $AE$ và $BC$ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O$; - Bờ $AB$ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $OA$; - Độ dài đoạn $OA$ và $OB$ lần lượt là $40$ m và $20$ m; - Tâm $I$ của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt $40$ m và $30$ m.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$l \approx 17,7$ m.
Lời giải
Lời giải
Gán trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\begin{cases} A \in Oy \\ B \in Ox \end{cases}$, chọn đơn vị là $10$ m.
Khi đó mảnh vườn hình tròn có phương trình $(C): (x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$ có tâm $I(4; 3)$.
Bờ $AB$ là một phần của Parabol $(P): y = 4 - x^{2}$ ứng với $x \in [0; 2]$.
Vậy bài toán trở thành tìm $MN$ nhỏ nhất với $\begin{cases} M \in (P) \\ N \in (C) \end{cases}$.
Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm $N$ thì $MN + MI \geq IN$, vậy $MN$ nhỏ nhất khi $M, N, I$ thẳng hàng.
Bây giờ, ta sẽ xác định điểm $N$ để $IN$ nhỏ nhất:
$$
N \in (P) \Rightarrow N(x; 4 - x^{2}) \Rightarrow IN = \sqrt{(4 - x)^{2} + (1 - x^{2})^{2}}
$$
$$
IN^{2} = (4 - x)^{2} + (1 - x^{2})^{2} = x^{4} - x^{2} - 8x + 17
$$
Xét $f(x) = x^{4} - x^{2} - 8x + 17$ trên $[0; 2]$.
$$
f'(x) = 4x^{3} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x \approx 1,3917
$$
Ta có $f(1,3917) \approx 7,68$; $f(0) = 17$; $f(2) = 13$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0; 2]$ gần bằng $7,68$ khi $x \approx 1,3917$.
Suy ra $IN_{\min} = \sqrt{7,68} \approx 2,771$ (đơn vị $10$ m).
Do đó $MN_{\min} = IN_{\min} - 1 \approx 1,771$ (đơn vị $10$ m).
Vậy độ dài tối thiểu của cây cầu là $l \approx 17,7$ m.