Trắc nghiệm · Câu 32
Bạn A có một đoạn dây mềm và dẻo không đàn hồi $20$ m, bạn chia đoạn dây thành hai phần, phần đầu gấp thành một tam giác đều. Phần còn lại gập thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu (m) để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$\frac{180}{9 + 4\sqrt{3}}$ m.
Lời giải
Lời giải
Gọi $x$ (m) là cạnh của tam giác đều, ($0 < x < \frac{20}{3}$). Suy ra cạnh hình vuông là $\frac{20 - 3x}{4}$ (m).
Gọi $S$ là tổng diện tích của hai hình:
$$
S(x) = x^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \left( \frac{20 - 3x}{4} \right)^{2}
$$
$$
S'(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 2 \cdot \frac{20 - 3x}{4} \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{3}{8}(20 - 3x)
$$
Giải phương trình $S'(x) = 0$:
$$
\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{60 - 9x}{8} = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt{3}x - 60 + 9x = 0 \Leftrightarrow x(9 + 4\sqrt{3}) = 60
$$
$$
x = \frac{60}{9 + 4\sqrt{3}}
$$
Dựa vào bảng biến thiên, $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{60}{9 + 4\sqrt{3}}$ m.
Phần đầu được gấp thành tam giác đều nên độ dài phần đầu bằng chu vi tam giác:
$$
3x = \frac{180}{9 + 4\sqrt{3}}\ \text{(m)}
$$