Trắc nghiệm · Câu 33
Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là $10$ km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là $40$ km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là $5$ USD/km, đi đường bộ là $3$ USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? ($AB=40$ km, $BC=10$ km)
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
$\frac{65}{2}$ km.
Lời giải
Lời giải
Đặt $AD = x$ (km), $x \in [0; 40]$. Suy ra $BD = 40 - x$ và $CD = \sqrt{(40 - x)^{2} + 10^{2}}$.
Tổng kinh phí đi từ A đến C là:
$$
f(x) = 3x + 5\sqrt{(40 - x)^{2} + 10^{2}} = 3x + 5\sqrt{x^{2} - 80x + 1700}
$$
Đạo hàm của hàm số:
$$
f'(x) = 3 + 5 \cdot \frac{2x - 80}{2\sqrt{x^{2} - 80x + 1700}} = 3 + \frac{5(x - 40)}{\sqrt{x^{2} - 80x + 1700}}
$$
Giải phương trình $f'(x) = 0$:
$$
3\sqrt{x^{2} - 80x + 1700} = 5(40 - x)
$$
$$
9(x^{2} - 80x + 1700) = 25(1600 - 80x + x^{2})
$$
Giải ra ta được $x = \frac{65}{2}$.