Tính diện tích lớn nhất $ S_{ \max } $ của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $ R=6\,{ \rm{ cm } } $ nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.

Gọi hình chữ nhật cần tính diện tích là $ ABCD $ có $ OC=x \left ( { 0 < x < 6 } \right ) $, $ OB=6 $. Khi đó diện tích của hình chữ nhật $ ABCD $ là: $ S=AB.BC =2x\sqrt{36-x ^ { 2 }} =f\left ( { x } \right ) $. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ ABCD $ là giá trị lớn nhất của $ f\left ( { x } \right ) =2x\sqrt{36-x ^ { 2 }} $ trên $ \left ( { 0;\,6 } \right ) $. $ f'\left ( { x } \right )=2\sqrt{36-x ^ { 2 }}-\frac { 2x ^ { 2 } } { \sqrt{36-x ^ { 2 }} } =\frac { -4x ^ { 2 } +72 } { \sqrt{36-x ^ { 2 }} } $. $ f'\left ( { x } \right )=0⇔\left[ \begin{array}{l} x=3\sqrt{2}\in \left ( { 0;\,6 } \right ) \\ x=-3\sqrt{2}∉\left ( { 0;\,6 } \right ) \end{array} \right. $. $ BBT $ Ta có: $ \mathop { \max } \limits_{ \left ( { 0;\,6 } \right ) } f\left ( { x } \right )=36 $. Vậy $ S_{ \max } =36\,{ \rm{ cm } } ^ { { \rm{ 2 } } } $.