Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $ K $ cách bờ $ AB $ là $ 1 { \rm{ m } } $ và cách bờ $ AC $ là $ 8 { \rm{ m } } $, rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào $ 2 $ bờ $ AB $, $ AC $ và cây cọc $ K $ (bỏ qua đường kính của sào).

Đặt $ AP=a $;$ AQ=b $($ a,b>0 $). Gọi $ E $ và $ F $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ K $ xuống $ AB $ và $ AC $. Suy ra $ KE=1 $,$ KF=8 $. Ta có: $ \frac { KE } { AQ }=\frac { PK } { PQ } $;$ \frac { KF } { AP }=\frac { QK } { PQ } ⇒\frac { KF } { AP }+\frac { KE } { AQ }=1 $ hay là $ \frac { 8 } { a }+\frac { 1 } { b }=1 $. (Hoặc có thể dùng phép tọa độ hóa: Gán $ A=\left ( { 0;0 } \right ) $,$ P=\left ( { 0;a } \right ) $,$ Q=\left ( { b;0 } \right ) $. Khi đó $ K=\left ( { 1;8 } \right ) $. Phương trình đường thẳng $ PQ:\frac { x } { b }+\frac { y } { a }=1 $. Vì $ PQ $ đi qua $ K $ nên $ \frac { 1 } { b }+\frac { 8 } { a }=1 $.) Vì $ \frac { 8 } { a }+\frac { 1 } { b }=1 ⇒b=\frac { a } { a-8 } $ với $ a>8 $. Khi đó $ PQ ^ { 2 } =a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =a ^ { 2 } +\left ( { \frac { a } { a-8 } } \right ) ^ { 2 } $ với $ a>8 $. Xét hàm số $ f\left ( { a } \right )=a ^ { 2 } +\left ( { \frac { a } { a-8 } } \right ) ^ { 2 } $ với $ a>8 $. Ta có $ f'\left ( { a } \right )=2a-\frac { 16a } { \left ( { a-8 } \right ) ^ { 3 } } $. $ f'\left ( { a } \right )=0⇔2a=\frac { 16a } { \left ( { a-8 } \right ) ^ { 3 } }⇔\left ( { a-8 } \right ) ^ { 3 } =8⇔a=10 $ (vì $ a>8 $). Khi đó $ b=\frac { a } { a-8 }=5 $, suy ra $ PQ=\sqrt { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } }=\sqrt { 125 }=5\sqrt { 5 } $. Vậy chiều dài ngắn nhất của cây sào là $ 5\sqrt { 5 } $ (m).